Abelian varieties arising from Mumford’s Shimura curves

In this paper, we study abelian varieties of dimension 4 over number fields with the property that the Lie algebra of their Mumford–Tate group is C-isomorphic to Ga (sl2)3. Such abelian varieties occur naturally as fibres of universal families of abelian varieties over Shimura curves associated to algebraic groups over Q that are C-isomorphic to (SL2) 3. We study the reductionsmodulo prime ideals of these abelian varieties, with the purpose to limit the possible Newton polygons and the possible isogeny types of these reductions. The techniques used also permit to construct an irreducible Galois representation of the absolute Galois group of a number fieldwhich is unramified outside a finite set of non-archimedian places andwith the property that its restriction to all decomposition groups is semi-stable. By a conjecture of Fontaine and Mazur, such a representation should ‘come from algebraic geometry’. It seems to be an interesting question whether this is the case for the representation constructed here. Résumé Dans cet article, on propose d’étudier des variétés abéliennes de dimension 4 sur des corps de nombres telles que l’algèbre de Lie du groupe deMumford–Tate soit isomorphe surC àGa (sl2)3. De telles variétés abéliennes apparaissent comme fibres des schémas abéliens universels sur des courbes de Shimura associées à des formes sur Q du groupe algébrique (SL2) 3. Plus précisément, on étudie les réductions de telles variétés abéliennes, dans le but de limiter le nombre de polygônes de Newton et de décompositions en facteurs simples possibles. Les arguments permettent également de construire une représentation irréductible du groupe de Galois absolu d’un corps de nombres qui est non ramifié en dehors d’un nombre fini de places finies et dont la restriction à tous les groupes de décomposition est semi-stable. Une conjecture de Fontaine et Mazur affirme qu’une telle représentation (( provient de la géometrie algébrique )) et il semble intéressant de savoir si cela est le cas ici.